摘要

將具有簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型和Zufiria模型推廣至非理想流體情況，并分別利用這兩種模型研究了界面張力對(duì)Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性的影響。首先得到了兩種模型下氣泡的漸近速度和漸近曲率的解析表達(dá)式；其次系統(tǒng)研究了界面張力對(duì)氣泡的漸近速度和漸近曲率的影響；最后將兩種模型進(jìn)行了比較，并將氣泡的漸近速度和數(shù)值模擬進(jìn)行了比較。研究表明：界面張力壓低了氣泡的速度，但對(duì)曲率沒有影響；利用簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型所得的氣泡的漸近速度比復(fù)雜速度勢(shì)的Layzer模型的值小，但是比Zufiria模型的值大；當(dāng)阿特伍德數(shù)等于1時(shí)，簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型和復(fù)雜速度勢(shì)的Layzer模型給出的結(jié)果一致。

引言

兩種密度不同的流體混合，當(dāng)密度梯度和外場(chǎng)加速度相反時(shí)，界面所表現(xiàn)出的不穩(wěn)定現(xiàn)象被稱為Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性。RT不穩(wěn)定性是流體力學(xué)中的重要問題，廣泛存在于天體物理、等離子體、核聚變、慣性約束聚變中，對(duì)該問題的深入研究具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

RT不穩(wěn)定性大致可以分為三個(gè)階段：早期線性增長(zhǎng)階段、非線性增長(zhǎng)階段和湍流混合階段。在早期階段，微擾振幅增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，這一點(diǎn)人們已經(jīng)達(dá)成共識(shí)。當(dāng)微擾振幅和波長(zhǎng)可以比擬時(shí)，非線性發(fā)生，此時(shí)重流體以尖釘?shù)男问皆谳p流體中演化，而輕流體則以氣泡的形式在重流體中上升。在非線性增長(zhǎng)的后期，氣泡和尖釘則是以恒定的速度增長(zhǎng)。為了描述這一階段的演化，歷史上曾出現(xiàn)兩種主要的理論模型，一種是Layzer模型，另一種是Zufiria模型。1955年Layzer建立了適用于氣泡頂端附近的勢(shì)流模型，被稱之為L(zhǎng)ayzer模型。Zhang后來對(duì)該模型的速度勢(shì)進(jìn)行了修改。Goncharov、Sohn等人分別提出了新的速度勢(shì)，將Layzer模型推廣并應(yīng)用于任意密度比情形。1988年Zufiria提出了另一種理論模型，該模型假想在氣泡的下面存在一個(gè)點(diǎn)源，又稱點(diǎn)源模型。Zufiria模型的速度勢(shì)是復(fù)數(shù)，而Layzer模型的速度勢(shì)是實(shí)數(shù)。Zufiria模型的運(yùn)算過程比Layzer模型復(fù)雜。早期Zufiria模型也只適用于無限密度比情形。后來Sohn將其推廣并應(yīng)用于任意密度比情形。

Layzer模型和Zufiria模型都是建立在理想流體之上。然而對(duì)實(shí)際流體而言，很多因素都可以影響RT不穩(wěn)定性的演化情況，如密度比、黏性、界面張力、壓縮性、外場(chǎng)加速度、Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性等。Young和Sohn利用Goncharov提出的復(fù)雜速度勢(shì)，將Layzer模型推廣并應(yīng)用到非理想流體中，研究了界面張力對(duì)RT不穩(wěn)定性增長(zhǎng)的影響，發(fā)現(xiàn)界面張力降低了氣泡的增長(zhǎng)速率。2011年本文的作者之一利用Zufiria模型研究了黏性對(duì)RT不穩(wěn)定性增長(zhǎng)的影響。但是，目前沒有人利用Sohn提出的簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型研究界面張力對(duì)RT不穩(wěn)定性的影響，也沒有人利用Zufiria模型研究界面張力對(duì)RT不穩(wěn)定性的影響。

本文分別利用Sohn提出的簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型和Zufiria模型研究界面張力對(duì)RT不穩(wěn)定性增長(zhǎng)的影響，并對(duì)不同模型進(jìn)行比較。

利用Layzer模型研究RT氣泡速度

假定兩種流體裝在一個(gè)無限長(zhǎng)的豎直管中，重流體在上，輕流體在下面，兩種流體是無旋、不可壓縮的非理想流體。研究主要集中在層流、單模耦合。兩種流體的交界面用(y=eta(x,t))描述，并建立如圖1所示的坐標(biāo)系。氣泡的頂端類似于拋物線，因此可將界面在氣泡頂端附近將交界面處的方程進(jìn)行泰勒展開，并保留二次項(xiàng)。

因?yàn)榱黧w是無旋的，速度勢(shì)滿足Laplace方程：

Young等利用復(fù)雜速度勢(shì)單獨(dú)考慮了界面張力對(duì)RT不穩(wěn)定性的影響。在此，將本次結(jié)果和Young等的結(jié)果進(jìn)行了比較，如圖2所示，實(shí)線是本次結(jié)果，虛線是Young等人的結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)邦德數(shù)較小時(shí)，界面張力很大，兩種結(jié)果所計(jì)算的弗勞德數(shù)基本一致；而當(dāng)邦德數(shù)較大時(shí)，界面張力較小，發(fā)現(xiàn)本次工作的結(jié)果小于Young等人的結(jié)果。

當(dāng)取邦德數(shù)一定時(shí)，氣泡的弗勞德數(shù)隨阿特伍德數(shù)的變化如圖3所示。在圖3中Bo=20pi^2。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，利用Goncharov所提出的復(fù)雜速度勢(shì)運(yùn)算的結(jié)果比本次工作稍微大一些。在阿特伍德數(shù)等于1時(shí)，兩種理論結(jié)果完全一致。當(dāng)阿特伍德數(shù)較小時(shí)，兩種理論結(jié)果也基本一致。

利用Zufiria模型研究RT氣泡速度

Zufiria模型假設(shè)在氣泡的頂端下面存在一個(gè)點(diǎn)源，點(diǎn)源的強(qiáng)度為Q，在氣泡的頂端建立動(dòng)坐標(biāo)系，如圖4所示。重力加速度為g，氣泡頂點(diǎn)到點(diǎn)源的距離為H，氣泡的曲率半徑為R。假定在一個(gè)無限長(zhǎng)的豎直管內(nèi)裝有兩種流體，管道的寬為D，兩種流體是無旋的。輕重流體的復(fù)雜勢(shì)分別表示為(F_1(z)=varphi_1+itheta_1)，(F_h(z)=varphi_h+itheta_h)。其中varphi_h(varphi_1)和theta_h(theta_l)分別是重（輕）流體的速度勢(shì)和流函數(shù)。在動(dòng)坐標(biāo)系((hat{x},hat{y}))中，氣泡頂端界面可以表示為(z(t)=y(t)+i x(t))，氣泡頂端的界面可以表示為：

將Zufiria模型和Layzer模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖5所示。從圖5明顯看出：界面張力都降低了氣泡的漸近速度；在考慮界面張力的情況下，Zufiria模型所計(jì)算的漸近速度比Layzer小。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)邦德數(shù)小于200時(shí)，氣泡的漸近速度受界面張力的影響較大。當(dāng)邦德數(shù)趨于無窮大（即理想流體）時(shí)，兩種模型的差別依舊很明顯。

圖6將Layzer模型和Zufiria模型進(jìn)行了比較?？梢钥闯?，在理想流體情況下，Zufiria模型所計(jì)算的氣泡的漸近速度小于Layzer模型；在考慮界面張力的情況下，Zufiria模型的結(jié)果仍然小于Layzer模型的結(jié)果。這一結(jié)論和Sohn所得結(jié)果一致。

最后，我們將兩種理論模型的結(jié)果與數(shù)值模擬進(jìn)行了比較，如圖7所示。在誤差允許的范圍內(nèi)，Zufiria模型和Layzer模型與數(shù)值模擬符合的都很好。由簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型得出的結(jié)果更接近于數(shù)值模擬。另外，從圖7中還可以看出，簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型計(jì)算值比數(shù)值模擬結(jié)果高，而Zufiria模型比數(shù)值模擬低。這可能由于Zufiria模型假設(shè)速度勢(shì)是復(fù)數(shù)勢(shì)，會(huì)人為引進(jìn)速度的耗散，導(dǎo)致結(jié)果比數(shù)值模擬低，而Layzer模型的計(jì)算值略高于數(shù)值模擬的原因可能由于數(shù)值模擬沒有達(dá)到漸近速度。

結(jié)論

本文將簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型和Zufiria模型推廣至非理想流體，并利用兩種模型考慮了界面張力的影響。分別得出了利用簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型和Zufiria模型在考慮界面張力情況下Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性非線性演化后期氣泡的漸近解和曲率半徑的解析表達(dá)式。定量分析了模型之間的差別。結(jié)果表明：界面張力壓低了氣泡的漸近速度，但卻對(duì)氣泡的曲率沒有影響。在考慮界面張力的情況下，簡(jiǎn)單速度勢(shì)的Layzer模型比復(fù)雜速度勢(shì)的Layzer模型給出的漸近速度小，但在阿特伍德數(shù)趨于1時(shí)，兩種模型的結(jié)果一致；Zufiria模型的結(jié)果始終小于Layzer模型。